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Maßstab (Skalierungsfaktor)

Grundsätzliches

Angaben zur Vergrößerung oder Verkleinerung beziehen sich immer auf lineare Ausdehnungen, also auf Breite, Höhe oder beliebige andere Messstrecken. Wenn ein 100 mm breites und 150 mm hohes Bild auf das Dreifache vergrößert wird, ergibt sich die dreifache Breite, also 300 mm, und die dreifache Höhe, also 450 mm. Die Fläche des Bilds wird dabei zwar quadratisch zur Seitenlänge vergrößert, also auf das Neunfache. Das ist bei Maßstabs- und Größenberechnungen aber völlig unwichtig; hier wird ausschließlich mit Strecken und deren Veränderung gerechnet.

Um Verwirrung zu vermeiden, sollte immer angegeben werden, auf welche Größe oder auf welches Vielfache vergrößert bzw. verkleinert werden soll. Bei Vergrößerung auf das Dreifache wird das ursprünglich 100 mm breite Bild 300 mm breit. Bei Vergrößerung um das Dreifache wird es dagegen 400 mm breit.

Der Maßstab (Skalierungsfaktor) ist des Verhältnis der Sollgröße (Zielgröße, Reprogröße) zur Istgröße (Originalgröße, Vorlagengröße). Dieses Verhältnis kann auf unterschiedliche Arten angegeben werden: prozentual, numerisch oder als Quotient.

Prozentualer Maßstab

In der Praxis wird überwiegend mit dem prozentualen Maßstab gearbeitet.

Maßstab % = Sollgröße : Istgröße · 100 %

Beispiel: Ein 120 mm breites Bild soll auf 198 mm vergrößert (auf 84 mm verkleinert) werden. Prozentualer Maßstab?

198 mm : 120 mm · 100 % = 165 %

84 mm : 120 mm · 100 % = 70 %

Durch Umstellen des ursprünglichen Rechenwegs ergibt sich:

Sollgröße = Istgröße · Maßstab % : 100 %

Beispiel: Ein 150 mm hohes Bild wird auf 170 % vergrößert (auf 45 % verkleinert). Höhe in Millimeter?

150 mm · 170 % : 100 % = 255 mm

150 mm · 45 % : 100 % = 67,5 mm

Die Rückrechnung von der Sollgröße auf die Istgröße sieht so aus:

Istgröße = Sollgröße : Maßstab % · 100 %

Beispiel: Das auf 250 % vergrößerte (auf 80 % verkleinerte) Bild ist 200 mm breit. Ursprüngliche Breite des Bilds?

200 mm : 250 % · 100 % = 80 mm

200 mm : 80 % · 100 % = 250 mm

Numerischer Maßstab

Der numerische Maßstab ist das als Dezimalbruch angegebene Verhältnis der Sollgröße zur Istgröße. Gegenüber Berechnungen mit dem prozentualen Maßstab entfällt hier also der Faktor bzw. Teiler 100 %.

Maßstab = Sollgröße : Istgröße

Beispiel: Ein 80 mm breites Bild soll auf 196 mm vergrößert (auf 70 mm verkleinert) werden. Numerischer Maßstab?

196 mm : 80 mm = 2,45

70 mm : 80 mm = 0,875

Für die Berechnung von Sollgröße bzw. Istgröße gilt entsprechend:

Sollgröße = Istgröße · Maßstab

Istgröße = Sollgröße : Maßstab

Quotient

Schließlich kann der Maßstab auch als Quotient in der Form x : 1 bzw. 1 : x angeben werden. Dabei ist x größer als 1, also zum Beispiel 4 : 1 bzw. 1 : 4. Solche Maßstabsangaben werden zwar meist wie Ergebnisse von Fußballspielen gesprochen („Vier zu Eins“, „Eins zu Vier“); der rechnerische Hintergrund wird aber deutlicher, wenn sie als Quotienten verstanden werden („Vier geteilt durch Eins“, „Eins geteilt durch Vier“). Der Quotient 4 : 1 entspricht dem numerischen Verhältnis 4, denn 4 : 1 = 4. Der Quotient 1 : 4 entspricht dem numerischen Verhältnis 0,25, denn 1 : 4 = 0,25.

Beim Berechnen des Quotienten geht es darum, das Verhältnis Sollgröße : Istgröße so zu kürzen, dass einer der Werte gleich Eins und der andere größer als Eins wird.

Beispiel 1: Ein 80 mm breites Bild soll auf 144 mm vergrößert werden.

144 mm : 80 mm   (Sollgröße : Istgröße)

Der Quotient wird gekürzt, indem Dividend und Divisor durch den kleineren der beiden Werte geteilt werden, also durch 80 mm.

(144 mm : 80 mm) : (80 mm : 80 mm) = 1,8 : 1

Beispiel 2: Ein 140 mm hohes Bild soll auf 56 mm verkleinert werden.

56 mm : 140 mm   (Sollgröße : Istgröße)

Auch hier wird der Quotient gekürzt, indem Dividend und Divisor durch den kleineren der beiden Werte geteilt werden, hier also durch 56 mm.

(56 mm : 56 mm) : (140 mm : 56 mm) = 1 : 2,5

Um die Sollgröße auszurechnen, wird die Istgröße mit dem Quotienten multipliziert.

Beispiel: Eine 168 mm breite Vorlage wird im Maßstab 1,5 : 1 (1 : 2,4) reproduziert. Welche Breite ergibt sich?

168 mm · (1,5 : 1) = 168 mm · 1,5 = 252 mm

168 mm · (1 : 2,4) = 168 mm : 2,4 = 70 mm

Bei der Rückrechnung auf die Istgröße wird entsprechend durch den Quotienten dividiert.

Beispiel: Eine Reproduktion im Maßstab 3,5 : 1 (1 : 1,2) ist 280 mm hoch. Höhe der Vorlage?

280 mm : (3,5 : 1) = 280 mm : 3,5 = 80 mm

280 mm : (1 : 1,2) = 280 mm · 1,2 = 336 mm

Übungsaufgaben

1  Geben Sie bitte den Maßstab jeweils prozentual, numerisch
    und als Quotient an:
–  Vergrößerung eines 90 mm breiten Bilds auf 306 mm
–  Verkleinerung eines 195 mm hohen Bilds auf 39 mm
–  Vergrößerung einer 250 mm breiten Vorlage auf 275 mm
–  Skalierung eines 3600 Pixel hohen Bilds auf 450 Pixel

2  Welche Breite bzw. Höhe ergibt sich jeweils?
–  Breite der Vorlage 280 mm, Maßstab 45 %
–  Höhe der Vorlage 36 mm, Maßstab 8,25
–  Breite der Vorlage 176 mm, Maßstab 1 : 1,6
–  Höhe der Vorlage 60 mm, Maßstab 6,65 : 1

3  Wie breit bzw. hoch war die Vorlage jeweils?
–  Höhe der Reproduktion 216 mm, Maßstab 180 %
–  Breite der Reproduktion 30 mm, Maßstab 0,4
–  Höhe der Reproduktion 50 mm, Maßstab 1 : 2,6
–  Breite der Reproduktion 441 mm, Maßstab 4,5 : 1


Lösungen: Markieren Sie bitte die graue Fläche unter dieser Zeile.

1   340 %   3,4   3,4 : 1
     20 %   0,2   1 : 5
     110%   1,1   1,1 : 1
     12,5 %   0,125   1 : 8
2   126 mm   297 mm   110 mm   399 mm
3   120 mm   75 mm   130 mm   98 mm


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